No wonder Federer lost in his Olympic tennis final, he previously played an exhausting semifinal match against Del Potro. In the third set, since there was no tie-breaker, after 6:6 they continued to play until one of the players first reached an advantage of 2 games (or in other words, won two consecutive games).
What was the score in the final, decisive third set (which Federer won)?
(1) The square of the average number of games won by Federer and Del Potro is a three digit number of the form BAC, where A,B, and C are non-zero consecutive digits.
(2) Each played less than 50 games, the two numbers representing their final scores are consecutive prime numbers, whose sum is a perfect square.
(1) ((F+P)/2)^2 = BAC, con A,B,C siendo enteros consecutivos distintos de cero.
Como la media de los juegos logrados por ambos jugadores debe tener tres cifras, esta debe estar entre 10 y 31, incluidos, pues 9^2=81 (2 cifras) y 32^2=1024 (4 cifras). Es importante notar que la diferencia entre los juegos logrados por Federer y los logrados por Del Potro siempre será 2, por lo que los pares de juegos y su media son un conjunto finito [(12,10);(13,11);(14,12);.....;(31,29);(32;30)]
Si comprobamos los cuadrados de todos los números enteros entre 10 y 31, el único cuadrado que cumple con la condición expuesta en el enunciado es el 18, cuyo cuadrado es 324. Esto implica que Federer hizo 19 juegos y Del Potro 17. No hay ningún otro cuadrado que cumpla la condición BAC.
Por lo tanto (1) es sufficient.
(2) Como ambos números son primos, ambos deben ser impares, dado que los pares siempre serán divisibles por dos. Al igual que en (1), la diferencia entre los juegos logrados por F y los logrados por P siempre será 2, lo que supone que el número de combinaciones posibles es un conjunto finito: [(9,7);(11,9);(13,11);(15,13);....;(29,27);(31,29)]. De todos ellos, los únicos pares donde ambas cifras son números primos son (13,11), (19,17) y (31,29). Las sumas de ambos pares de números son 24, 36 y 60, siendo 36 el único cuadrado perfecto de los tres, por lo que la solución es (19,17) y (2) es sufficient.
Como ambos son suficientes de forma independiente, la solución es D.
Conceptualmente, la pregunta no es difícil, pero si se hace "a las bravas", calculando los cuadrados de las cifras entre 10 y 31 (algunos se saben de antemano por práctica, pero otros muchos no), lleva unos 5-6 minutos. ¿Alguna alternativa para resolver la pregunta más rápidamente, sobre todo en la condición (1)?
Para (1), como A, B y C son consecutivos, sabemos que A + B + C = 3B, lo que significa que BAC es divisble por 3. Como es un cuadrado perfecto, también es divisible por 9, y entonces la suma de sus dígitos es divisible por 9 también, es decir, 3B es divisible por 9, así que B es divisible por 3. Las únicas posibilidades son 324 y 657. Ahora podemos comprobar que 657 no es cuadrado perfecto, o saber que ningún cuadrado perfecto acaba en 2,3,7 u 8 (que yo no tenía ni idea hasta hace 2 minutos), y sólo nos queda 324, que es 18². (Que conste que esto no lo he hecho yo :P)
